Caracol de Pascal

Contribuição de Guilherme Henrique Gomes da Silva

Professor de matemática da Rede Estadual Paulista

estudante de mestrado em educação matemática - unesp - Rio Claro

guilherme@rc.unesp.br
gui_camisa10@yahoo.com.br

Recentemente, estou trabalhando em uma apostila para um curso de introdução ao Geogebra. Neste trabalho, procuramos desenvolver algumas atividades com conceitos que geralmente os alunos da graduação não conhecem. Uma atividade muito simples de se realizar e muito interessante é a visualização da curva denominada de Caracol de Pascal.

Essa curva foi estudada pela primeira vez pelo matemático francês Roberval que a utilizou como exemplo em um de seus escritos por volta de 1630 denominando-a limaçon de Pascal . A referência a Pascal não é a do famoso matemático Blaise Pascal, mas de seu pai Etienne Pascal que estudou e apresentou várias definições desta curva. Uma das definições do Caracol de Pascal é a seguinte:

Definição - Consideremos uma circunferência c de raio a e diâmetro MN. Consideremos um ponto Q sobre c e a reta q definida por M e Q. Seja dado um número k<2a e marquemos sobre q dois pontos P e P´, distando k do ponto Q. Se imaginarmos o ponto Q a deslocar-se sobre c, o lugar geométrico dos pontos P e P´ é o caracol de Pascal.

Observe a curva construída utilizando o software Geogebra. Como este é um software de Geometria Dinâmica, é possível arrastar o ponto Q por toda a circunferência, sem que a figura perca suas características iniciais.

Etapas da construção:

1 – Construa um segmento AB e nomeio de a (será o raio da circunferência).

2 – Utilize a ferramenta “Circunferência dados centro e raio” e faça a circunferência com centro O e raio a.

3 – Marque um ponto M sobre a circunferência e construa a reta que passa por O e M. Feito isso, marque o outro ponto de intersecção desta reta com a circunferência e chame-o de N. Feito isso, esconda essa reta.

4- Crie o segmento MN e marque um ponto E sobre ele. Esconda o segmento MN e faça o segmento ME, nomeando-o de k (perceba que k é igual a, no máximo, 2a, onde a é o raio da circunferência)

6 – Marque um ponto qualquer sobre a circunferência e chame-o de Q.

7 – Construa a reta que passa por M e Q.

8 – Utilize a ferramenta “Circunferência dados centro e raio” e construa a circunferência com centro em Q e raio igual a k.

9 – Utilize a ferramenta “Intersecção de dois objetos” e marque os pontos P e P’, que são a intersecção desta ultima circunferência construída com a reta que passa por M e Q. Feito isso, esconda essa circunferência.

10 – Habilite a opção “Habilitar Rastro” nos pontos P e P´ e arraste Q sobre a circunferência. Se preferir, utilize a ferramenta “Lugar Geométrico” que terá o mesmo resultado.

Perceba que é possível alterar o tamanho da circunferência modificando o segmento AB e também modificar o tamanho da curva alterando o segmento ME (k).